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Aufgabe:

Guten Tag, wir haben heute die Thematik "Boltzmann-Statistik" bekommen und sollen dazu bestimmen, ob die folgenden Behauptungen der Wahrheit entsprechen oder nicht. Ich danke Ihnen für ihre Hilfe.


⇒ Zustände gibt es reichlich, mehr als Sterne und Planeten in unserem Universum

⇒ Je mehr Zustände der gleichen Energie existieren (Entartung), desto wahrscheinlicher, dass dieser Zustand besetzt wird.


⇒ Die Wahrscheinlichkeit der Besetzung eines Zustandes steigt linear mit der Verringerung der Energie des Zustandes

⇒ Die Normierung entspricht der Summe aller Boltzmann Faktoren aller Zustände.

⇒ Je höher die Energie eines Zustandes, desto weniger stark ist dieser Zustand besetzt.

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Grüße chemweazle, einen guten 4. Advent,

Bin allerdings mittlerweile 27 - 32 Jahre aus der Thematik entfernt.

Zur

Boltzmann Statistik - Zustände, Energie, Normierung


⇒ Zustände gibt es reichlich, mehr als Sterne und Planeten in unserem Universum

Aber jenseits des Grenzkontinuums, z.B. die Wärmebewegung, Translation von Gasteilchen ist quasi kontinuierlich. Die Rotationen und Schwingungen sind hingegen gequantelt.

Man denke an die Quantelung. Es gibt pro betrachtetes System eben nur def. feste Gesamtenergiezustände.


Bei manchen Systemen liegen die höheren Energieniveaus bei zunehmenden Quantenzahlen immer dichter beieinander bis zum Grenzkontinuum. Ab dem Grenzkontinuum bewegen sich Teilchen mit kontnuierlich unterschiedlichen Gesamtenergien.


Beispiel

Wasserstoffatom ab der Hauptquantenzahl, n = 10, tritt so eine Art Grenzkontinuum auf, die Abstände der einzelnen Energieniveaus werden immer kleiner. Ab diesem sog. Grenzkontinuum kann sich das Elektron kontinuierlich ohne Quantelung(ohne feste Bahnssprünge) bewegen.


⇒ Je mehr Zustände der gleichen Energie existieren (Entartung), desto wahrscheinlicher, dass dieser Zustand besetzt wird.

• Das paßt, Der Entartungsgrad g steht als linearer Faktor vor dem "Boltzmann-Glied".

Beispiel:

Das untere Energiniveau habe die Energie ε1 und Anzahl der Teilchen im unteren Energineveau sei N1. Das höhre Energieniveau sei ε2 und diser Zustand sei 3fach entartet, g = 3.

$$\frac{N_{2}}{N_{1}}= \dfrac{g\cdot e^{\dfrac{-\varepsilon_{2}}{kT}}}{e^{\dfrac{-\varepsilon_{1}}{kT}}} = g\cdot e^{-\frac{\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}}{kT}}$$
$$\frac{N_{2}}{N_{1}}= \dfrac{3\cdot e^{\dfrac{-\varepsilon_{2}}{kT}}}{e^{\dfrac{-\varepsilon_{1}}{kT}}} = 3\cdot e^{-\frac{\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}}{kT}}$$


Beispiel: Teilchen im 2- und 3dimensionalen Kasten, ohne potentielle Energie zwischen dem Potial-wänden, die Entartungsgrade sind dann einmal g = 2 und g =3.

⇒ Die Wahrscheinlichkeit der Besetzung eines Zustandes steigt linear mit der Verringerung der Energie des Zustandes

• Ja, das paßt.

Beispiel:


Es sind Nn Teilchen im höheren Energiezustand, εn und N0 Teilchen im energetisch tieferen Energieniveau mit der Energie, ε0.

Das Verhälnis der Teilchenzahlen von höherem zum energetisch niedrigeren Niveau ist proportional dem

Boltzmann-Term, e-Δε/kT , mit Δε = εn - ε0.

$$\dfrac{N_{n}}{N_{0}} = e^{-1/kT(\varepsilon_{n} - \varepsilon_{0})}$$

Bzw. als Häufigkeit könnte man auch den Logarithmus aus dem Verhältnis der Besetzungszahlen der Teilchen betrachten,

ln [Nn / N0 ].

$$ln\left(\dfrac{N_{n}}{N_{0}}\right) = \frac{-1}{kT}\cdot (\varepsilon_{n} - \varepsilon_{0})$$

⇒ Die Normierung entspricht der Summe aller Boltzmann Faktoren aller Zustände.

• Ja, das stimmt.

Die Summe aller sog. Bolzmann-Faktoren ist die Zustands-Summe und diese wird alternativ auch als Normierung bezeichnet-
Die Zustandssumme wird häufig mit q oder mit z abgekürzt.
Die Quantenzahlen seien: n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...,n

Die Energiezustände haben die folgenden Energien: ε0, ε1, ε2, ε4, ε4..., εn

$$z = \sum\limits_{i=1}^{n} e^{\dfrac{-\varepsilon_{i}}{kT}}$$

⇒ Je höher die Energie eines Zustandes, desto weniger stark ist dieser Zustand besetzt.

•Das paßt.

Es sind N0 Teilchen im niedrigsten Energizustand, ε0, wenigere Teilchen im 1ten Angeregten Zustand, ε1, N1 < N0 und noch weniger Teilchen besetzen den 2ten Anregungszustand, ε2, N2 < N1 < N0.

Je größer die Energie-Differenzen, εi - ε0, sind um so kleiner die Verhältnisse N i / N0.

$$\frac{N_{1}}{N_{0}} = e^{-1/kT(\varepsilon_{1} - \varepsilon_{0})}$$
 >
$$\frac{N_{2}}{N_{0}} = e^{-1/kT(\varepsilon_{2} - \varepsilon_{0})}$$
   >
$$\frac{N_{3}}{N_{0}} = e^{-1/kT(\varepsilon_{3} - \varepsilon_{0})}$$
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Grüße chemweazle,

Tipp- und Kopierfehler:

Beim Thema Entartung, Entartungsgrad

Fehler:

Beispiel: Teilchen im 2- und 3dimensionalen Kasten, ohne potentielle Energie zwischen dem Potial-wänden, die Entartungsgrade sind dann einmal g = 2 und g =3.

Korrektur:

Beispiel: Teilchen im 2- und 3dimensionalen Kasten, ohne potentielle Energie zwischen den Potential-wänden, die Entartungsgrade sind dann einmal g = 2 und g =3.

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