Volumenänderungsarbeit/Kompressionsarbeit ausrechnen

Question

ich habe Heute das erste mal ein p-V Diagramm mit Stift und Lineal gezeichnet und eine Isotherme Zustandsänderung aufgetragen. Das ganze mit einem idealen Gas und der dazu gehörigen Gleichung.

Und zwar habe ich in 10 Schritten die Volumenänderung und Druckzunahme aufgetragen, also ausgerechnet und eingezeichnet von V1 = 1 m³ mit p1 = 1013.25 hPa bis zum letzten (und zehnten Eintrag ins Diagramm) V2 = 0,5 m³ und p2 = 2013.25 hPa.

Ich habe ausgerechnet, dass 1 m³ Volumen Platz hat für 44,62 mol eines idealen Gases.

Nun wollte ich Wissen wie viel Energie die Kompression kostet und wie sich die innere Energie des Gases erhöht.

Dazu habe ich die Formel: W = n*R*T * Ln (V2/V1) genommen und ausgerechnet:

W = 44,62 * 8,314 * 273,15 * ln (0,5) = 70,2 kJ ...

Ist das nicht ein wenig viel?

Würde ich jetzt grob die Fläche im Diagramm unter der Hyperbel ausrechnen denke ich kaum das ich auf 70 kJ komme ...

Was auch erwähnenswert sein könnte ist der Sachverhalt, dass ich mich kaum mit der Integralrechnung auskenne und daher das ganze auf dem Blatt ausprobieren wollte um den Wert aus der Volumenarbeit manuell mit meiner Zeichnung vergleichen kann.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Volumenänderungsarbeit bei isothermer Zustandsänderung

Um die Volumenänderungsarbeit (oder auch Kompressionsarbeit) bei einer isothermen Zustandsänderung eines idealen Gases zu berechnen, verwenden wir die gegebene Formel:

\( W = nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \)

Gegeben sind:
- \(V_1 = 1 \, \text{m}^3\)
- \(V_2 = 0,5 \, \text{m}^3\)
- \(n = 44,62 \, \text{mol}\)
- \(R = 8,314 \, \text{J/(mol·K)}\)
- \(T = 273,15 \, \text{K}\)

Einsetzen der Werte liefert:

\( W = 44,62 \cdot 8,314 \cdot 273,15 \cdot \ln\left(\frac{0,5}{1}\right) \)

Bevor wir weiterrechnen, beachten wir, dass \(\ln\left(\frac{0,5}{1}\right) = \ln(0,5) = -\ln(2)\).

Kontinuieren wir mit der Rechnung:

\( W = 44,62 \cdot 8,314 \cdot 273,15 \cdot (-\ln(2)) \)
\( W \approx -44,62 \cdot 8,314 \cdot 273,15 \cdot 0,693 \)
\( W \approx -44,62 \cdot 8,314 \cdot 273,15 \cdot 0,693 \approx -70.7 \, \text{kj} \)

Die Rechnung scheint korrekt mit einem Ergebnis von circa -70,7 kJ. Das negative Vorzeichen zeigt, dass Arbeit am System geleistet wird, was für die Kompressionsarbeit typisch ist.

Deine Skepsis bezüglich der Größe der Energie könnte daher kommen, dass die Vorstellung der Arbeit, die nötig ist, um ein Gas zu komprimieren, intuitiv unterschätzt wird. Die Berechnung zeigt jedoch, dass eine erhebliche Menge an Arbeit erforderlich ist, um das Volumen eines idealen Gases bei konstanter Temperatur zu halbieren.

Überprüfung durch Flächenberechnung im p-V-Diagramm

Um den Wert aus der Volumenarbeit mit deiner Zeichnung zu vergleichen, müsstest du das Integral unter der Kurve im p-V-Diagramm berechnen. Da es sich um eine Isotherme handelt, wird die Kurve eine Hyperbel darstellen. Die Berechnung der Fläche unter einer Hyperbel kann ohne Kenntnisse der Integralrechnung schwierig sein. Jedoch entspricht die direkte Berechnung mit der Formel genau der Fläche unter der Kurve im p-V-Diagramm für isotherme Prozesse.

Es ist erwähnenswert, dass bei der isothermen Kompression die innere Energie eines idealen Gases unverändert bleibt, weil die innere Energie eines idealen Gases nur von der Temperatur abhängt. Die zugeführte Arbeit führt also nicht zu einer Erhöhung der inneren Energie, sondern wird vollständig als Wärme abgegeben.