Grüße chemweazle,
Vergleich der Größe der Atome (vdw Parameter und das Molare Volumen)
Krypton kristallisiert im festen Zustand in einem einfachen kubischen System, wobei es ein molares Volumen von 22,35 cm3 * mol-1 einnimmt. Zudem sind die VdW-Paramter von Krypton bekannt: a = 2,352 bar * dm-6 * mol 2 = 2,352 bar * l-2 * mol 2 und b = 0,0398 l * mol-1
.
Vergleichen Sie die Größe der Atome (anhand des Durchmessers), welche sich einerseits über die VdW-Parameter und andererseits über das molare Volumen von festem Krypton ergeben.
Beim Kubisch einfachen Gitter, kubisch primitiven Gitter befinden sich die Atome, Kugeln; an den Ecken der Elementarzellenwürfel.
Jedes Atom, Kugel, gehört insgesmat 8 Würfeln, Elementarzellen(EZ) an.
Auf eine einzigen Elementarzelle bezogen befindet sich in jeder der 8 Würfelecken ein Achtel Atom, 1⁄8 Atom, die EZ hat als Würfel 8 Ecken, somit beinhaltet eine solche Elementarzelle insgesamt acht Achtel Kugeln, 8⁄8 Atome = 1 Atom. Das ist eine Kugel, 1 Atom , pro Elemtarzelle.
$$\frac{Anzahl der Atome}{EZ} = \frac{(8/8)\cdot Atome}{8 Ecken- der- EZ} = \frac{1 Atom}{EZ}$$
Die Kantenlänge, a, des Elementarzellen-Würfels hat die Länge von 2 Atomradien, das ist gleich dem Atomdurchmesser, hier im Beispiel der Atomdurchmesser von Krypton, d(Kr).
Das Molvolumen, Vm(Kr), des gefrorenen, festen Edelgases Krypton besteht aus 1 mol Elementarzellen-Volumina.
Das Volumen einer einzelnen EZ lautet : V(EZ) = a3
Somit gilt für das Molvolumen des festen Krypton bei dieser Temperatur Vm(Kr):
Mit: 1 mol = 6,023 * 1023 Stück
Der Avogadrokonstanten:
$$N_{A} = \dfrac{6,023\cdot 10^{23}}{mol}$$
Vm = NA * a3
Der Durchmesser eines Krypton-Atoms entspricht der Kantenlänge a der EZ und lautet:
d(Kr) = a und
$$d(Kr) = a = \sqrt[3]{a^{3}} = \sqrt[3]{V(EZ)}$$
und es gilt für das Volumen einer einzigen EZ:
$$V(EZ) = a^{3} = \dfrac{Vm(Kr)}{N_{A}} = \dfrac{mol\cdot 22,35 \cdot cm^{3}\cdot 10^{-23}}{mol\cdot 6,023}$$
$$V(EZ) \approx 3,711\cdot 10^{-23}\cdot cm^{3}$$
$$a = d(Kr) = \sqrt[3]{3,711\cdot 10^{-23}\cdot cm^{3}} \approx 3,3355\cdot 10^{-8 }\cdot cm$$
d(Kr) ≈ 3,3355 * 10-10 m = 0,3355 *10-9m = 333,55 *10-12 m = 333,55 pm
Zum Vergleich der Wert für den Atomdurchmesser des Argonatoms aus dem Molaren Kovolumen, Molaren Eigenvolumen b der Van der Waals Gleichung:
V(Kr-Atom): Volumen, Kugelvolumen eines einzelnen Kr-Atoms
b(Kr): Molares Kovolumen von Krypton, b(Kr) = 0,0398 l * mol-1 = 39,8 cm3 * mol-1
Das ist das Volumen von 1 mol Kr-Atomen, also 6,023 * 10-23 Atomen
Volumen eines Krypton-Atoms:
$$V(Kr-Atom) = \dfrac{b}{N_{A}} = \dfrac{39,8\cdot cm^{3}\cdot mol}{mol\cdot 6,023\cdot 10^{23}}$$
$$V(Kr-Atom) \approx 6,608\cdot 10^{-23}\cdot cm^{3}$$
Kugelvolumen V(Kugel) :
$$V(Kugel) = \frac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^{3}$$
mit
$$r = \frac{d}{2} \Rightarrow$$
$$V(Kugel) = \frac{4}{3}\cdot \pi\cdot \dfrac{d^{3}}{8} = \frac{\pi}{6}\cdot d^{3}$$
$$d(Kr)^{3} = \frac{6}{\pi}\cdot V(Kr-Atom) \approx 1,91\cdot 6,608\cdot 10^{-23}\cdot cm^{3}$$
$$\approx 12,621 \cdot 10^{-23}\cdot cm^{3}$$
$$d(Kr) = \sqrt[3]{d(Kr)^{3}} = \sqrt[3]{12,621 \cdot 10^{-23}\cdot cm^{3}} \approx 5,016 \cdot 10^{-8}\cdot cm$$
Gegenüberstellung beider Werte für den Atomdurchmesser des Kr-Atoms
d(Kr-Atom)(1) = 3,3355 *10-8 cm, aus den Kristalldaten und d(Kr-Atom)(2) = 5,016 *10-8 cm, aus dem Molaren Kovolumen, b(Kr), für die Van-der-Waals-Gleichung
Der aus dem molaren Kovolumen erechnete Wert ist ca. gut 1,5 mal so groß wie der Wert aus dem Kristallmolvolumen bei tiefen Temperatren.
