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Aufgabe:

a) Vergleichen Sie den thermodynamischen Wirkungsgrad einer einfachen Dampfmaschine, die mit Dampf von 100 ¬įC arbeitet, der bei 55 ¬įC wieder abgegeben wird - mit dem einer modernen Dampfturbine, die mit 300 ¬įC hei√üem Dampf arbeitet,der bei 70 ¬įC abgegeben wird.

b) Mit Hilfe der gleichen Argumentation, die wir f√ľr den Wirkungsgrad einer
Wärmekraftmaschine benutzten, können wir auch den Wirkungsgrad einer
K√§ltemaschine beschreiben. Je weniger Energie dabei ben√∂tigt wird, desto effizienter arbeitet die Maschine. Als Beispiel dienen hierf√ľr neben K√ľhlschr√§nken, sogenannte
W√§rmepumpen. W√§hrend die ‚ÄěVorderseite‚Äú die Umgebung abk√ľhlt, wird auf der
‚ÄěR√ľckseite‚Äú W√§rme gewonnen. Solche W√§rmepumpen sind tats√§chlich sehr effizient und werden sogar zum Beheizen von Wohngeb√§uden eingesetzt. Definieren Sie zun√§chst den Wirkungsgrad der W√§rmepumpe. Vergleichen Sie die erzeugte W√§rmeenergie eines Elektroheizger√§tes und einer reversiblen W√§rmepumpe, deren Au√üenseite auf 260 K temperiert ist. Beide heizen ein Zimmer bei 295 K und laufen mit 1 kJ Elektroenergie. Woher resultiert der Unterschied der Energien?

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Gr√ľ√üe chemweazle,

Der thermodynamische Wirkungsgrad

a) Vergleichen Sie den thermodynamischen Wirkungsgrad einer einfachen Dampfmaschine, die mit Dampf von 100¬įC arbeitet, der bei 55 ¬įC wieder abgegeben wird - mit dem einer modernen Dampfturbine, die mit 300 ¬įC hei√üem Dampf arbeitet,der bei 70 ¬įC abgegeben wird.

$$\eta = \dfrac{T_{warm} - T_{kalt}}{T_{warm}} = 1 - \dfrac{T_{kalt}}{T_{warm}}$$

Dampfmaschine

őłwarm = 100¬įC = Twarm = 373,16 K

őłkalt = 55¬įC = Tkalt = 328,16 K

$$\eta = 1 - \dfrac{328,16\cdot K}{373,16\cdot K}$$
$$\eta \approx 0,121 \approx 12\% $$

Anm.: Der Wasser-Dampf mit der Siedetemperatur hat keinen √úberdruck, am Siedepunkt ist der Dampfdruck betragsgleich dem Atmosph√§redruck, die Differenz der beiden Dr√ľcke ist Null. Mit Wasserdampf von 100 Grad Celsius kann kein Kolben oder Schaufelrad bewegt werden. Der Dampf mu√ü √ľberhitzt werden, das geschieht in sog. √úberhitzer- R√∂hren, √úberhitzer- Rohrschlangen, die von au√üen beheizt werden.

Dampfturbine

őłwarm = 300¬įC = Twarm = 573,16 K

őłkalt = 70¬įC = Tkalt = 343,16 K

$$\eta = 1 - \dfrac{343,16\cdot K}{573,16\cdot K}$$
$$\eta \approx 0,401 \approx 40 \%$$

b) Mit Hilfe der gleichen Argumentation, die wir f√ľr den Wirkungsgrad einer W√§rmekraftmaschine benutzten, k√∂nnen wir auch den Wirkungsgrad einer K√§ltemaschine beschreiben.

Je weniger Energie dabei ben√∂tigt wird, desto effizienter arbeitet die Maschine. Als Beispiel dienen hierf√ľr neben K√ľhlschr√§nken, sogenannte W√§rmepumpen.

W√§hrend die ‚ÄěVorderseite‚Äú die Umgebung abk√ľhlt, wird auf der ‚ÄěR√ľckseite‚Äú W√§rme gewonnen. Solche W√§rmepumpen sind tats√§chlich sehr effizient und werden sogar zum Beheizen von Wohngeb√§uden eingesetzt. Definieren Sie zun√§chst den Wirkungsgrad der W√§rmepumpe.

Vergleichen Sie die erzeugte Wärmeenergie eines Elektroheizgerätes und einer reversiblen Wärmepumpe, deren Außenseite auf 260 K temperiert ist. Beide heizen ein Zimmer bei 295 K und laufen mit 1 kJ Elektroenergie. Woher resultiert der Unterschied der Energien?

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Herleitung des Thermodynamischen Wirkungsgrades, c, einer reversibel arbeitenden Wärmepumpe(Kältemaschine)
$$c = \dfrac{Q_{kalt}}{w}$$
Mit
$$Q_{warm} = Q_{kalt} + w$$
$$c = \dfrac{Q_{kalt}}{Q_{warm} - Q_{kalt}}$$

Das kalte Wärmeresevoir hat eine hohe Wärmekapazität, wird die Wärme Qkalt entnommen bleibt die Temperatur des Reservoirs, trotz der Wärme-Entnahme, konstant.

W√ľrde die Niedertemperaturw√§rme dem w√§rmeren Reservoir mit der Temperatur, Twarm zugef√ľhrt werden, so w√§re die Gesamt-Entropie kleiner NUll, also negativ.

Sie darf aber minimal Null sein bei physikal. reversiblen Vorgängen.

$$\Delta S_{ges} = \dfrac{-Q_{kalt}}{T_{kalt}} + \dfrac{Q_{kalt}}{T_{warm}} < 0$$

Aber durch die Zuf√ľhrung der Niedertemperatur-W√§rme mit Mech. Arbeit, w, Qwarm = Qkalt + w, wird die Gesamt-Entropie mindestens Null, bei der reversiblen Proze√üf√ľhrung.

$$\Delta S_{ges} = \dfrac{- Q_{kalt}}{T_{kalt}} + \dfrac{- Q_{kalt} + w}{T_{warm}} \ge 0$$
$$\Delta S_{ges} = \dfrac{- Q_{kalt}}{T_{kalt}} + \dfrac{- Q_{warm}}{T_{warm}} \ge 0$$

Die Gesamt-Entropieänderung bei einer physikalisch reversibel arbeitenden Kältemaschine(Wärmepumpe) ist Null.

őĒSges = 0

$$\Delta S_{ges} = 0 = \dfrac{- Q_{kalt}}{T_{kalt}} + \dfrac{Q_{warm}}{T_{warm}}$$
$$Q_{warm} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm}}{T_{kalt}}\right)$$
$$Q_{warm} - Q_{kalt} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm}}{T_{kalt}}\right) - Q_{kalt}$$
$$Q_{warm} - Q_{kalt} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm}}{T_{kalt}} - 1\right)$$

$$Q_{warm} - Q_{kalt} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm} - T_{kalt}}{T_{kalt}}\right)$$
$$c = \dfrac{Q_{kalt}}{Q_{warm} - Q_{kalt}} = \dfrac{T_{kalt}}{T_{warm} - T_{kalt}}$$

$$\Delta S_{ges} = 0 = \dfrac{- Q_{kalt}}{T_{kalt}} + \dfrac{Q_{warm}}{T_{warm}}$$
$$Q_{warm} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm}}{T_{kalt}}\right)$$
$$Q_{warm} - Q_{kalt} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm}}{T_{kalt}}\right) - Q_{kalt}$$
$$Q_{warm} - Q_{kalt} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm}}{T_{kalt}} - 1\right)$$
$$Q_{warm} - Q_{kalt} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm} - T_{kalt}}{T_{kalt}}\right)$$
$$c = \dfrac{Q_{kalt}}{Q_{warm} - Q_{kalt}} = \dfrac{T_{kalt}}{T_{warm} - T_{kalt}}$$
*****************************************************************************************

Ermittlung des Thermodyn. Wirkungsgrades, c, der rev. arbeitenden Wärmepumpe und der beiden Wärmen, der Niedrigtemperatur-Wärme und der Hochtemperatur-Wärme

Tkalt = 260 K und Twarm = 295 K, w = 1 KJ

$$c = \dfrac{T_{kalt}}{T_{warm} - T_{kalt}} = \dfrac{Q_{kalt}}{w}$$
$$c = \frac{260\cdot K}{[295 -260]\cdot K} = \frac{260}{35} = \frac{52}{7} = 7 + \frac{3}{7} \approx 7,429$$
$$Q_{kalt} = c\cdot w$$
$$Q_{kalt} = 7,429\cdot 1\cdot KJ = 7,429\cdot KJ$$
$$Q_{warm} = Q_{kalt} + w = c\cdot w + w = w\cdot (c + 1)$$
$$Q_{warm} = 1\cdot KJ\cdot (1 + 7,429) = 8,429\cdot KJ$$

Zum Vergleich die elektrische Beheizung die laut Text in der obigen Aufgabe "mit 1 KJ arbeitet".

Eigentlich ist hier wohl die Leistung dieser Elektrischen Heizung gemeint. Denn diese schafft es ja auch die Wärme-Energie(Hochtemperatur-Wärme), Qwarm = 8,429 KJ durch Umwandlung von Elektrischer Energie in Wärme, zu erzeugen, sie muß nur eine Weile heizen, "laufen".

$$Q_{warm} = w = w_{el} = U\cdot I\cdot t = \frac{1\cdot KJ}{s}\cdot t$$
$$Q_{warm} = 8,429\cdot KJ = \frac{1\cdot KJ}{s}\cdot 8,429\cdot s$$

Der Wirkungsgrad der Elektrischen Heizung, WG(elektr.), in Bezug auf die Energie-Umwandlung von Elektrischer Arbeit in die Hochtemperaturwärme, Qwarm ist gleich Eins.

wel = U * I * t = P * t = Qwarm

$$WG(elektr.) = \dfrac{Q_{warm}}{w_{el}} = \dfrac{w_{el}}{w_{el}} = 1 = 100\%$$

Bei der Wärmepumpe hingegen wird ein sehr großer Teil von Nieder-Temperatur-Wärme durch adiabatische Kompression auf Qwarm unter Aufbringen von 1 KJ mechan. oder elektr. Arbeit gebracht.

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