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Gleichgewichtskonzentration der Reaktionspartner berechnen
Gegeben ist eine chemische Reaktion, bei der Iod (I\(_2\)) mit Wasserstoff (H\(_2\)) zu Iodwasserstoff (HI) reagiert. Die Gleichung für diese Reaktion lautet:
\( I_2(g) + H_2(g) \rightarrow 2HI(g) \)
Die Gleichgewichtskonstante \(K_c\) bei 393°C beträgt 60. Wir starten mit 1 mol Iod und 2 mol Wasserstoff in einem 1000 cm³ Gefäß.
Um die Gleichgewichtskonzentrationen zu berechnen, verwenden wir das ICE-Tableau (Initial, Change, Equilibrium). Die Konzentrationen sind in mol/L, also müssen wir zuerst die anfänglichen Konzentrationen (Initial) berechnen.
Initial (I):
- Die Konzentration von Iod (I\(_2\)) ist \(\frac{1\, \text{mol}}{1\, \text{L}} = 1\, M\), da \(1000\, \text{cm}^3 = 1\, \text{L}\)
- Die Konzentration von Wasserstoff (H\(_2\)) ist \(\frac{2\, \text{mol}}{1\, \text{L}} = 2\, M\)
- Zu Beginn ist HI nicht vorhanden, somit ist seine Konzentration 0 M.
Change (C):
- Wenn die Reaktion fortschreitet, wird I\(_2\) im Verhältnis 1:1 mit H\(_2\) reagieren, daher verringern sich ihre Konzentrationen um einen bestimmten Betrag \(x\).
- Für jedes Mol I\(_2\) und H\(_2\), das reagiert, werden 2 mol HI gebildet. Also erhöht sich die Konzentration von HI um \(2x\).
Equilibrium (E):
- Die Gleichgewichtskonzentration von Iod, [I\(_2\)]\(_{eq}\) = \(1 - x\) M
- Die Gleichgewichtskonzentration von Wasserstoff, [H\(_2\)]\(_{eq}\) = \(2 - x\) M
- Die Gleichgewichtskonzentration von Iodwasserstoff, [HI]\(_{eq}\) = \(2x\) M
Die Gleichgewichtskonstante, \(K_c\), ist gegeben durch:
\( K_c = \frac{[\text{HI}]^2}{[\text{I}_2][\text{H}_2]} \)
Einsetzen der Gleichgewichtskonzentrationen ergibt:
\( K_c = \frac{(2x)^2}{(1-x)(2-x)} = 60 \)
\( 4x^2 = 60(1-x)(2-x) \)
\( 4x^2 = 60(2 - x - 2x + x^2) \)
\( 4x^2 = 120 - 180x + 60x^2 \)
Vereinfachen der Gleichung:
\( 56x^2 + 180x - 120 = 0 \)
Um \(x\) zu berechnen, lösen wir diese quadratische Gleichung. Die allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung folgt der Formel:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
für die Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\), was in diesem Fall bedeutet:
\( a = 56, \, b = 180, \, c = -120 \)
Eingesetzt:
\( x = \frac{-180 \pm \sqrt{(180)^2 - 4 \cdot 56 \cdot (-120)}}{2 \cdot 56} \)
\( x = \frac{-180 \pm \sqrt{32400 + 26880}}{112} \)
\( x = \frac{-180 \pm \sqrt{59280}}{112} \)
\( x = \frac{-180 \pm 243.47}{112} \)
Da \(x\) die Konzentrationsänderung darstellt, kann \(x\) nicht negativ sein, also wählen wir die Addition:
\( x = \frac{-180 + 243.47}{112} \)
\( x = \frac{63.47}{112} \approx 0.5667 \)
Nun haben wir den Wert von \(x\) und können die Gleichgewichtskonzentrationen berechnen:
\( [\text{I}_2]_{eq} = 1 - x = 1 - 0.5667 \approx 0.4333\, M \)
\( [\text{H}_2]_{eq} = 2 - x = 2 - 0.5667 \approx 1.4333\, M \)
\( [\text{HI}]_{eq} = 2x = 2 \cdot 0.5667 \approx 1.1334\, M \)
Damit sind die gesuchten Gleichgewichtskonzentrationen berechnet.
