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Wenn man sich diese etwas komplexere Bio-Chemische Reaktion ansieht, dann ist "A" der Start mit Starkonzentration von 10 mmol/L. Alle k-Werte = 0,2 (1/min)  bis auf k1 = 0,4 bestimmen die Geschwindigkeit zum jeweiligen Schritt. EAm ende ist die Konzentration bei C und D.

Die Frage:

In welchem Verhältnis liegt C zu D am Ende? C+D = 10 mmol/L

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Ich bin nun nur ein kleiner Ingenieur und habe mit biochemischen Reaktionen wenig am Hut, dennoch meine ich einen Lösungsansatz zu haben.

Dazu sei gesagt, dass ich Deine Aufgabe so verstehe, dass ausgehend von einer Startkonzentration bei A nun Stofftransporte mit den angegebenen "Geschwindigkeiten" stattfinden. Da für diese "Geschwindigkeiten" die Einheit 1 pro Minute angegeben ist, sollten die dazu gehörigen Beträge als Prozentwerte zu verstehen sein, d.h. also: pro Minute wandern 20% von A nach B, 40% von A nach D usw.

Wenn dem so ist, muss zunächst erkannt werden, dass daraus auch ein Verbleiben einer gewissen Konzentration an der jeweiligen Position folgen muss, da z.b bei A nur insgesamt 60% abfließen also 40% dort verbleiben, bei B verblieben dann 60% und da C und D keine Abflüße haben verblieben dort jeweils 100%.

Diese ganzen Bewegungen kann man sich nun prima in einem Gozintographen verdeutlichen (siehe Fotos unten) und die einzelnen Übergänge in einer Übergangsmatrix A darstellen. Gleichzeitig setzt man einen Startvektor s an.

Die Multiplikation A*s liefert dann den Konzentrationsvektor nach einer Minute.

Nun soll ja aber die Schlußkonzentration in C und D ermittelt werden. Dafür wird die Matrix A nun mit dem Ergebnisvektor multipliziert und dies solange wiederholt, bis in ausreichender Genauigkeit die Konzentrationen in A und B "verschwunden" sind also:

A*(A*s); A*(A*(A*s) usw. Das kann man mit n als Anzahl der Minuten auch schreiben als:

A^n * s

Schön wäre es jetzt das n analytisch bestimmen zu können, allerdings sind Logarithmen für Matrizen nicht erklärt. Wir müssen also durch schrittweise Multiplikation nummerisch zum Ziel kommen...

Alles weitere siehst Du inden Fotos die ich gleich hochlade

von

Hier der Gozintograph und die Matrix ABild Mathematik

Hier die Berechnung bis 32 Minuten. Ich habe diese mit einem online Matrix Rechner gemacht und runde jeweils auf die 6. NachkommastelleBild Mathematik

danke, ja so ist die Aufgabe gemeint,... man kann das auch als Füllstände in vielen Gefäßen betrachten..., oder eben als Konzentrationen in einem einzigen Gefäß. Dein Ansatz ist interessant und und richtig denke ich, aber leider wirst du irgendwo einen Fehler gemacht haben. Ich denke Du hast k1 und k4 vertauscht, denn dann kommt 8 zu  2 raus. Eigentlich muss 6 zu 4 heraus kommen. Aber auf dieses Ergebnis bin ich mit Hilfe eines dedizierten Programms gekommen. Man kann es auch in Excel machen aber es dauert sehr lange und man verliert die Übersicht.  Du nährst dich also dem Ende n zu in min, falls ich dich richtig verstanden habe.

Damit es im nicht linearen Bereih genauer wird, muss man dt  klein wählen (z.B. dt=1 sec als /60), dann werden die verschiedenen Kurven der Konzentrationen der Komponenten auch immer genauer.  Im Grunde kann man diesen wert von k als k/60 nehmen und somit erhält man dt=1sec, weil k ja 1/min ist. Jetzt muss man z.B einige Minuten laufen lassen .. . Man erhält  Steigungen, die ja auch die Geschwindigkeit für den Zeitpunkt n1,2,3..., stop. sind. Deine Methode mit Matrizen und Vektoren ist geordnet, und an der Ordnung bin ich gescheitert bei Excel, womit ich es auch versucht habe. Es gibt aber auch dedizierte Programme für genau so etwas: Berkeley Madonna in diesem Fall erledigt den numerischen Teil. Frage: Nennt man dies nicht auch eine nicht lineare Regression?

Bild Mathematik

Als erstes, zur Rettung meiner Ehre: In Deiner Aufgabenstellung steht k1=0,4, auf Deinem Foto kann ich jedoch gerade so erkennen, dass k= 0,4... Also lag der Fehler bestimmt bei Dir :)) .... Nun, das tut aber im Grunde nichts zur Sache.

Das von mir angesetzte Verfahren kenne ich aus einem biologischen Kontext, da damit im Allgemeinen Populationsentwicklungen beschrieben werden. Mathematisch ist es im Grunde die hintereinander-Ausführung einer Abbildung mit der Abbildungsmatrix A. Mit der von Dir angesprochenen Skalierung der Konzentrationsänderung (klingt Vl.. besser als Geschwindigkeit?) auf Sekunden kannst Du natürlich die Auflösung der Ergebnismenge erhöhen. Das Schöne ist, dass Du, von Rundungsfehlern (deren Ausmaß im Grunde frei wählbar ist) abgesehen, exakt rechnest, also keine Näherungsverfahren anwendest. Ebenso kannst Du die Anzahl der Referenzpunkte, zumindest theoretisch, beliebig erhöhen, dann ändert sich einfach die Dimension m der Matrix.

Das "theoretisch" impliziert dabei einen Haken und der findet sich schnell im Rechenaufwand der für die notwendigen Multiplikationen eingekauft werden muss. Multipliziert man die Matrizen nach Definition, ergeben sich bei der Multiplikation einer m×m-Matrix mit sich selbst m^3 Multiplikationen. Um also einen Zeitschritt abzubilden benötigst du in Deinem Beispiel bereits 64 Multiplikationen. Das klingt zunächst nicht viel, aber ich habe zum Beispiel auf 32 Minuten hin gerechnet (dabei aber nur für 2,4,8,16 Minuten die Matrizen berechnet, also ohne die dazwischenliegenden Werte). möchtest Du den selben Zeitraum in Sekunden auflösen, musst Du folglich die Matrix (mit Konzentrationsänderungen von k/60) 32*60=1920 mal multiplizieren. das sind dann 1920*64=122880 Multiplikationen. löst Du noch feiner auf, zum Beispiel Millisekunden landen wir schon bei 122 880 000 Operationen. Nehmen wir nun 10 statt 4 Referenzpunkte, sind wir bei grandiosen 10^3*32*60*1000=1,92 Milliarden Operationen (ohne die zugehörigen Additionen). Es ist wird schnell klar, dass dies ohne geeignete Software (die nah am Kern rechnen können sollte, Excel macht das nicht, da läuft parallel zu viel Systemkram) nicht möglich ist, wird da schnell klar.

Die von Dir benutze Software, wird im übrigen genauso vorgehen, also für jeden Zeitschrift die Konzentration ausrechnen und dann wieder mit A multiplizieren. Die errechneten Konzentrationen werden dann über t aufgetragen und in den Zwischenräumen in geeigneter Weise interpoliert. Mit diesen Stützstellen und der Simpsonregel liesse auch direkt ein Integral nähern. Braucht man eine analytische Funktion zur Beschreibung des Konzentrationsverlaufs kann man natürlich in geeigneter Weise regressieren bzw. eine Funktionsgleichung mit einem geeigneten Ansatz ermitteln (da die einzelnen Stützstellen ja exakt sind und nur aufgrund der Rundungsfehler streuen).

Dein Beispiel in Excel zu rechnen ist aber sicher möglich. Will man das mit den eingebauten Funktionen in jeder Zelle machen, wird das schnell unübersichtlich, da hast Du vollkommen recht. Besser man programmiert sich da mal was in VBA (damit kann man das ganze Office-Paket steuern).

Ich habe jetzt jedenfalls Blut geleckt und werde die kommenden freien Tage mal nutzen und mir meinen eigenen MatrizenMultiplikator in Excel machen. Ich melde mich wieder... :)

Tatsache! ich hab die Werte vertauscht! 8:2 stimmt!
Auf das Verhätnis hin ist die Auflösung durch dt sogar egal wie ich feststellen muss dann. Ein kleines dt so im Sekunden Bereich ist wertvoll bei den nicht-linearen Werten während die Reaktionen im Gange sind.
Wenn man es mit excel versucht: Excel beschwert sich irgendwann ab Schritt C wegen Iterationen. Das umgeht man, indem man  Beispielsweise B zum Zeitpunkt n1 für C dann eben den n2 Zeitpunkt berechnet und dann aus B zum n1 abzieht. Zum Zeitpunkt n1 ist C dann halt noch immer 0.
Lustig wird es, wenn man es doch mit Iterationen versucht und diese erzwingt ...

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