Der Sauerstoffgehalt eines Sees beträgt an der Wasserobertläche 8,1 mg/l. In einer Wassertiefe von 20 Metern werden 5,9 mg/l gemessen.
a) Legen Sie zunächst eine lineare Abnahme des Sauerstoffgehalts zugrunde und geben Sie eine Formel an, die den \( O_2 \)-Gehalt als Funktion der Wassertiefe berechnet. Was konkret gibt in diesem Fall die Steigung k an?
b) Welcher \( O_2 \)-Gehalt sollte nach dem linearen Modell in 30 m Wassertiefe bestehen? In welcher Wassertiefe gibt es nach dem linearen Modell gar keinen Sauerstoff mehr?
c) Legen Sie nunmehr - mit den Angaben aus Punkt a) - eine exponentielle Abnahme des Sauerstoffgehaltes zugrunde. Stellen Sie das entsprechende Gesetz, das den funktionalen Zusammenhang zwischen den \( O_2 \)-Gehalt und der Wassertiefe angibt, auf. Wie groß ist die Abnahme pro Meter Tiefe in Prozent?
d) Welcher Sauerstoffgehalt besteht nach dem exponentiellen Modell in 30 m Wassertiefe? Um wie viel Prozent geht der Sauerstoffgehalt auf die folgenden 40 m Tiefe zurück?
Anmerkungzu c.) ich hätte gerechnetf(x) = f0*ax f(20) = 8,1*a20 = 5,98,1*a20 = 5,9a = ( 5.9 / 8.1 )^{1/20}a = 0.9843f ( x ) = 8.1 * 0.9843^xProzentualer Abfall 1.57 %
Wann ist es sinnvoll, bei Exponentialfunktionen die Zahl e zu benutzen? Bzw. bei welcher Fragenstellung?
Jede Exponentialfunktion kann in eine andere Exponentialfunktionmit anderer Basis umgewandelt werden.
4^x = 3^z | ln ()ln ( 4^x ) = ln ( 3^z )x * ln (4 ) = z * ln(3)z = x * ln(4) / ln(3 )z = x * 1.262
4^x = 3^{x*1.262}
Im Finanzsektor rechnet man beim Zineszins z.B. 4 %K0 * 1.04^t
Bei Wachstum ( Bio ) oder Zerfall ( Radioaktivität ) mit der e-Funktion.
Die e-Funktion hat den Vorteil das sie sich mit der ln Funktion ( Umkehrfunktion ) aufhebt und von daher Vorteile beim rechnenhat.
Wenn ich die Wachstumsrate in % gegeben habe oder diese ausrechnen muss, muss ich die dann IMMER umrechnen ? Also 1 dazu zählen bei Vermehrung und dann mal 100 oder umgekehrt -1 dann mal 100, beim Abnahmeprozessen.
Du kannst hier weiter Fragen stellen.Beispiele
Angabe in %6 %Faktor ( 1 + 0.06 ) = 1.06-5 %Faktor ( 1 - 0.05 ) = 0.95
Wieso haben sie dann bei c) nicht mit e gerechnet? Wie könnte ich denn auf die 0,984279 kommen wenn ich die e-Funktion asuwähle :-/?
Und darf ich eigentlich das Minus von Lamda zu 20 ziehen ?
Deine Rechnung stimmt. Jetzt kann umgewandelt werden.
\( e^{-0,015846 \cdot x}=f^{x} \quad | ln \\ -0,015846 \cdot x=x \cdot \ln (f) \\ ln(f) = 0.015846 \quad | e^{hoch} \\ f = 0.9843 = 98.43 \% \)
Abfall 1.75 %
Es geht doch weitaus schneller wenn man direkt so rechnet wie ich es oben angeführt habe. Es wurde nach dem prozentualen Abfall gefragt.
8,1*a20 = 5,9
Analog einer Berechnung aus der FinanzweltGeldentwertung
Ein Betrag von 8.1 € ist in 20 Jahren nur noch 5.9 € wert.Stelle eine Exponentialfunktion auf und berechne die jährliche Entwertung.
a)f(x) = k*x + f0f0 = 8,1f(20) = k*20 + 8,15,9 = k*20 + 8,1k = -0,11k = -0,11 mg/m gibt die Abnahme des O2-Gehaltes pro m an.b)f(30) = 4,8 mg/lf(x) = -0,11*x + 8,1 = 0x = 73,64 mc)f(x) = f0*a-x = f0 * eλxf(20) = 8,1*a-20 = 5,9 => a-1 = 0,984279 => i = 1-a-1 = 1,57%
λ = 1/ln(a-1) = 0,015846d)f(30) = 5,035 mg/lf(70) = 2,672 mg/l( ( f(70)-f(30) ) / f(30) ) * 100 = -46,93%
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