Drücke die durchschnittliche Reaktionsrate durch ein Integral aus. Bestimme das Taylorpolynom der 2. Ordnung.

Question

Betrachte eine chemische Reaktion, die in einem Gefäss der Länge \( 2 L \) abläuft. Im Gefäss hersche ein linearer Temperaturgradient

\( T(x)=T_{0}+\lambda x \)

Nach dem Arrheniusgesetz gilt für die Reaktionsrate im Material

\( R(x)=R_{0} e^{-\frac{a}{T(x)}} \)

wobei wir im folgenden \( R_{0}=1 \) annehmen und \( \alpha \) eine positive Konstante ist.

(a) Drücke die durchschnittliche Reaktionsrate \( \bar{R} \) durch ein Integral aus und vergewissere Dich, dass man das Integral nicht direkt lösen kann.

(b) Bestimme das Taylorpolynom der 2. Ordnung von \( e^{-\frac{\alpha}{T_{0}+\lambda x}} \) um \( x=0 \).

(c) Benutze (b) um \( \bar{R}=\bar{R}(\alpha, L, \lambda) \) näherungsweise zu bestimmen.

(d) Für welches \( \lambda \) wird \( \bar{R} \) maximal / minimal? Hinweis: Das Ergebnis hängt von \( \frac{\alpha}{T_{0}} \) ab.

Zusatzfrage: Was ist die chemische Bedeutung von \( \frac{\alpha}{T_{0}} \) ? Was sind typische Werte?

Answer 1

a) Durchschnitt ist    1/(2L) * Integral von -L bis L über e hoch ( -alpha / To+lambda*x) dx,
wegen Ro=1 kommt das nicht vor.
Und e hoch (-1/x) gehört zu den Funktionen ohne elementare Stammfunktion.

b) Taylorpolynom zu  R(x)= e^{-alpha/(T0+lam*x)}                     p(x) = R(o) +R'(0)*x  +  R''(0)*(x^2/2)

R(0)=  e ^-alpha/T0    R'(x)=  (alpha*lam/(lam*x+T0)^2 ) * e^{-alpha/(T0+lam*x)}       

also  R ' (0) = (alpha*lam / To^2 ) * e ^-alpha/T0      

und R '' (x) = (   ( -alpha*lam^2 (2 lam*x + 2 T0 - alpha ) / (1*x+ T0)^4  ) * e^{-alpha/(T0+lam*x)} 

R ' ' (0) = (   ( -alpha*lam^2 (2 T0 - alpha ) / T0^4  ) * e^-alpha/T0        

c)   Int  -L bis L über p(x) dx   =   x*R(0)  +  0,5*R`(o)*x^2 + (1/3) R''(0) *x^3  von -L bis L

gibt  ( L*R(0)  +  0,5*R(o)*L^2 + (1/3) R''(0) *L^3  ) - (  (-L)*R(0)  +  0,5*R(o)*(-L)^2 + (1/3) R''(0) *(-L)^3 )

=   2L*R(0)  + (2/3) R''(0) *L^3    und jetzt noch einsetzen !

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe! Wir konnten a-c problemlos nachvollziehen!

Ich schätze ich muss bei d) Rquer(x) ableiten. Das ergibt mir aber 0. Wie sollte man das rechnen?